Ik heb een andere domeinnaam gezet op een website van mij. In google staat nog steeds de oude. Wordt dit automatisch na een tijdje aangepast, of moet ik nog andere stappen gaan ondernemen

Dat komt vanzelf goed :-)

Je kan je nieuwe site ook met de hand toevoegen op https://www.google.nl/intl/nl/add_url.html

Of in Google Search Console